高一數學集合練習題
1.已知全集U={X<=5,且x∈N*}，則U={小于等于5的正整數}，A={x2-5x+q=0} （CuA）={除了A中的解剩下的小于等于5的正整數}（CuA)U B={1,4,3,5}，少了一個2.所以2為A中的一個解 代入得q=6由q=6 可算出A={2，3} 所以（CuA)={1，4，5} 但是（CuA)U B={1,4,3,5}可知B中定有1元素為3 代入3 得p=-7
所以q=6 p=-7
2.你打錯了 因該是A交B不等于空集，因為 集合B就可以算出無數個元素 那么他們并起來也是無數個 肯定不是空集
高一數學集合間的基本關系過關檢測題
集合是高一數學的*章，也是學習函數的基礎，所以一定要掌握相關知識點。以下是我為您整理的關于高一數學集合間的基本關系過關檢測題的相關資料，希望對您有所幫助。
高一數學集合間的基本關系過關檢測題及解析
1.下列六個關系式，其中正確的有()
①{a，b}={b，a};②{a，b}?{b，a};③?={?};④{0}=?;⑤? {0};⑥0∈{0}.
A.6個 B.5個
C.4個 D.3個及3個以下
解析：選C.①②⑤⑥正確.
2.已知集合A，B，若A不是B的子集，則下列命題中正確的是()
A.對任意的a∈A，都有a?B
B.對任意的b∈B，都有b∈A
C.存在a0，滿足a0∈A，a0?B
D.存在a0，滿足a0∈A，a0∈B
解析：選C.A不是B的子集，也就是說A中存在不是B中的元素，顯然正是C選項要表達的.對于A和B選項，取A={1,2}，B={2,3}可否定，對于D選項，取A={1}，B={2,3}可否定.
3.設A={x|1
A.a≥2 B.a≤1
C.a≥1 D.a≤2
解析：選A.A={x|1
4.集合M={x|x2-3x-a2+2=0，a∈R}的子集的個數為________.
解析：∵Δ=9-4(2-a2)=1+4a2>0，∴M恒有2個元素，所以子集有4個.
答案：4
1.如果A={x|x>-1}，那么()
A.0?A B.{0}∈A
C.?∈A D.{0}?A
解析：選D.A、B、C的關系符號是錯誤的.
2.已知集合A={x|-1
A.A>B B.A B
C.B A D.A?B
解析：選C.利用數軸(圖略)可看出x∈B?x∈A，但x∈A?x∈B不成立.
3.定義A-B={x|x∈A且x?B}，若A={1,3,5,7,9}，B={2,3,5}，則A-B等于()
A.A B.B
C.{2} D.{1,7,9}
解析：選D.從定義可看出，元素在A中但是不能在B中，所以只能是D.
4.以下共有6組集合.
(1)A={(-5,3)}，B={-5,3};
(2)M={1，-3}，N={3，-1};
(3)M=?，N={0};
(4)M={π}，N={3.1415};
(5)M={x|x是小數}，N={x|x是實數};
(6)M={x|x2-3x+2=0}，N={y|y2-3y+2=0}.
其中表示相等的集合有()
A.2組 B.3組
C.4組 D.5組
解析：選A.(5)，(6)表示相等的集合，注意小數是實數，而實數也是小數.
5.定義集合間的一種運算“*”滿足：A*B={ω|ω=xy(x+y)，x∈A，y∈B}.若集合A={0,1}，B={2,3}，則A*B的子集的個數是()
A.4 B.8
C.16 D.32
解析：選B.在集合A和B中分別取出元素進行*的運算，有0?2?(0+2)=0?3?(0+3)=0,1?2?(1+2)=6,1?3?(1+3)=12，因此可知A*B={0,6,12}，因此其子集個數為23=8，選B.
6.設B={1,2}，A={x|x?B}，則A與B的關系是()
A.A?B B.B?A
C.A∈B D.B∈A
解析：選D.∵B的子集為{1}，{2}，{1,2}，?，
∴A={x|x?B}={{1}，{2}，{1,2}，?}，∴B∈A.
7.設x，y∈R，A={(x，y)|y=x}，B={(x，y)|yx=1}，則A、B間的關系為________.
解析：在A中，(0,0)∈A，而(0,0)?B，故B A.
答案：B A
8.設集合A={1,3，a}，B={1，a2-a+1}，且A?B，則a的值為________.
解析：A?B，則a2-a+1=3或a2-a+1=a，解得a=2或a=-1或a=1，結合集合元素的互異性，可確定a=-1或a=2.
答案：-1或2
9.已知A={x|x<-1或x>5}，B={x|a≤x
解析：作出數軸可得，要使A B，則必須a+4≤-1或a>5，解之得{a|a>5或a≤-5}.
答案：{a|a>5或a≤-5}
10.已知集合A={a，a+b，a+2b}，B={a，ac，ac2}，若A=B，求c的值.
解：①若a+b=aca+2b=ac2，消去b得a+ac2-2ac=0，
即a(c2-2c+1)=0.
當a=0時，集合B中的三個元素相同，不滿足集合中元素的互異性，
故a≠0，c2-2c+1=0，即c=1;
當c=1時，集合B中的三個元素也相同，
∴c=1舍去，即此時無解.
②若a+b=ac2a+2b=ac，消去b得2ac2-ac-a=0，
即a(2c2-c-1)=0.
∵a≠0，∴2c2-c-1=0，即(c-1)(2c+1)=0.
又∵c≠1，∴c=-12.
11.已知集合A={x|1≤x≤2}，B={x|1≤x≤a，a≥1}.
(1)若A B，求a的取值范圍;
(2)若B?A，求a的取值范圍.
解：(1)若A B，由圖可知，a>2.
(2)若B?A，由圖可知，1≤a≤2.
12.若集合A={x|x2+x-6=0}，B={x|mx+1=0}，且B A，求實數m的值.
解：A={x|x2+x-6=0}={-3,2}.
∵B A，∴mx+1=0的解為-3或2或無解.
當mx+1=0的解為-3時，
由m?(-3)+1=0，得m=13;
當mx+1=0的解為2時，
由m?2+1=0，得m=-12;
當mx+1=0無解時，m=0.
高一數學題集合知識點必修一
當一個小小的心念變成成為行為時，便能成了習慣;從而形成性格，而性格就決定你一生的成敗。成功與不成功之間有時距離很短——只要后者再向前幾步。我高一頻道為莘莘學子整理了《高 *數學 《集合》知識點 總結 》，希望對你有所幫助!
高一數學 題集合知識點必修一
一.知識歸納：
1.集合的有關概念。
1)集合(集)：某些指定的對象集在一起就成為一個集合(集).其中每一個對象叫元素
注意：①集合與集合的元素是兩個不同的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面幾何中的點與直線的概念類似。
②集合中的元素具有確定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互異性(若a?A，b?A，則a≠b)和無序性({a,b}與{b,a}表示同一個集合)。
③集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對象都是它的元素;只要是它的元素就必須符號條件
2)集合的表示 方法 ：常用的有列舉法、描述法和圖文法
3)集合的分類：有限集，無限集，空集。
4)常用數集：N，Z，Q，R，N
2.子集、交集、并集、補集、空集、全集等概念。
1)子集：若對x∈A都有x∈B，則AB(或AB);
2)真子集：AB且存在x0∈B但x0A;記為AB(或，且)
3)交集：A∩B={∈A且x∈B}
4)并集：A∪B={∈A或x∈B}
5)補集：CUA={A但x∈U}
注意：①?A，若A≠?，則?A;
②若，，則;
③若且，則A=B(等集)
3.弄清集合與元素、集合與集合的關系，掌握有關的術語和符號，特別要注意以下的符號：(1)與、?的區(qū)別;(2)與的區(qū)別;(3)與的區(qū)別。
4.有關子集的幾個等價關系
①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB;
④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。
5.交、并集運算的性質
①A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A;
③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB;
6.有限子集的個數：設集合A的元素個數是n，則A有2n個子集，2n-1個非空子集，2n-2個非空真子集。
二.例題講解：
【例1】已知集合M={=m+,m∈Z},N={=,n∈Z},P={=,p∈Z}，則M,N,P滿足關系
A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM
分析一：從判斷元素的共性與區(qū)別入手。
解答一：對于集合M：{=,m∈Z};對于集合N：{=,n∈Z}
對于集合P：{=,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數，而6m+1表示被6除余1的數，所以MN=P，故選B。
分析二：簡單列舉集合中的元素。
解答二：M={…，，…}，N={…，,,，…}，P={…，,，…}，這時不要急于判斷三個集合間的關系，應分析各集合中不同的元素。
=∈N，∈N，∴MN，又=M，∴MN，
=P，∴NP又∈N，∴PN，故P=N，所以選B。
點評：由于思路二只是停留在最初的歸納假設，沒有從理論上解決問題，因此提倡思路一，但思路二易人手。
變式：設集合，，則(B)
A.M=NB.MNC.NMD.
解：
當時，2k+1是奇數，k+2是整數，選B
【例2】定義集合AB={∈A且xB}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，則AB的子集個數為
A)1B)2C)3D)4
分析：確定集合AB子集的個數，首先要確定元素的個數，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n個來求解。
解答：∵AB={∈A且xB}，∴AB={1,7}，有兩個元素，故AB的子集共有22個。選D。
變式1：已知非空集合M{1,2,3,4,5}，且若a∈M，則6?a∈M，那么集合M的個數為
A)5個B)6個C)7個D)8個
變式2：已知{a,b}A{a,b,c,d,e},求集合A.
解：由已知，集合中必須含有元素a,b.
集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
評析本題集合A的個數實為集合{c,d,e}的真子集的個數，所以共有個.
【例3】已知集合A={2+px+q=0},B={2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求實數p,q,r的值。
解答：∵A∩B={1}∴1∈B∴12?4×1+r=0,r=3.
∴B={2?4x+r=0}={1,3},∵A∪B={?2,1,3},?2B,∴?2∈A
∵A∩B={1}∴1∈A∴方程x2+px+q=0的兩根為-2和1，
∴∴
變式：已知集合A={2+bx+c=0},B={2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求實數b,c,m的值.
解：∵A∩B={2}∴1∈B∴22+m?2+6=0,m=-5
∴B={2-5x+6=0}={2,3}∵A∪B=B∴
又∵A∩B={2}∴A={2}∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
【例4】已知集合A={x(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B滿足：A∪B={>-2}，且A∩B={x1<>
分析：先化簡集合A，然后由A∪B和A∩B分別確定數軸上哪些元素屬于B，哪些元素不屬于B。
解答：A={x-2<><-1或x>1}。由A∩B={x1-2}可知[-1,1]B，而(-∞,-2)∩B=ф。<-1或x>
<><-1或x>
綜合以上各式有B={x-1≤x≤5}
變式1：若A={3+2x2-8x>0}，B={2+ax+b≤0},已知A∪B={>-4}，A∩B=Φ,求a,b。(答案：a=-2，b=0)
點評：在解有關不等式解集一類集合問題，應注意用數形結合的方法，作出數軸來解之。
變式2：設M={2-2x-3=0},N={xax-1=0}，若M∩N=N，求所有滿足條件的a的集合。
解答：M={-1,3},∵M∩N=N,∴NM
①當時，ax-1=0無解，∴a=0②
綜①②得：所求集合為{-1，0，}
【例5】已知集合，函數y=log2(ax2-2x+2)的定義域為Q，若P∩Q≠Φ，求實數a的取值范圍。
分析：先將原問題轉化為不等式ax2-2x+2>0在有解，再利用參數分離求解。
解答：(1)若，在內有有解
令當時，
所以a>-4,所以a的取值范圍是
變式：若關于x的方程有實根,求實數a的取值范圍。
解答：
點評：解決含參數問題的題目，一般要進行分類討論，但并不是所有的問題都要討論，怎樣可以避免討論是我們思考此類問題的關鍵。
三.隨堂演練
選擇題
1.下列八個關系式①{0}=②=0③{}④{}⑤{0}
⑥0⑦{0}⑧{}其中正確的個數
(A)4(B)5(C)6(D)7
2.集合{1，2，3}的真子集共有
(A)5個(B)6個(C)7個(D)8個
3.集合A={x}B={}C={}又則有
(A)(a+b)A(B)(a+b)B(C)(a+b)C(D)(a+b)A、B、C任一個
4.設A、B是全集U的兩個子集，且AB，則下列式子成立的是
(A)CUACUB(B)CUACUB=U
(C)ACUB=(D)CUAB=
5.已知集合A={}，B={}則A=
(A)R(B){}
(C){}(D){}
6.下列語句：(1)0與{0}表示同一個集合;(2)由1，2，3組成的集合可表示為
{1，2，3}或{3，2，1};(3)方程(x-1)2(x-2)2=0的所有解的集合可表示為{1，1，2};(4)集合{}是有限集，正確的是
(A)只有(1)和(4)(B)只有(2)和(3)
(C)只有(2)(D)以上語句都不對
7.設S、T是兩個非空集合，且ST，TS，令X=S那么S∪X=
(A)X(B)T(C)Φ(D)S
8設一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判別式，則不等式ax2+bx+c0的解集為
(A)R(B)(C){}(D){}
填空題
9.在直角坐標系中，坐標軸上的點的集合可表示為
10.若A={1,4,x},B={1,x2}且AB=B，則x=
11.若A={x}B={x},全集U=R，則A=
12.若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有兩個負根，則k的取值范圍是
13設集合A={},B={x},且AB，則實數k的取值范圍是。
14.設全集U={x為小于20的非負奇數}，若A(CUB)={3，7，15}，(CUA)B={13，17，19}，又(CUA)(CUB)=，則AB=
解答題
15(8分)已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1},若AB={-3}，求實數a。
16(12分)設A=，B=，
其中xR,如果AB=B，求實數a的取值范圍。
四.習題答案
選擇題
12345678
CCBCBCDD
填空題
9.{(x,y)}10.0,11.{x,或x3}12.{}13.{}14.{1,5,9,11}
解答題
15.a=-1
16.提示：A={0，-4}，又AB=B，所以BA
(Ⅰ)B=時，4(a+1)2-4(a2-1)<0，得a<-1
(Ⅱ)B={0}或B={-4}時，0得a=-1
(Ⅲ)B={0，-4}，解得a=1
綜上所述實數a=1或a-1
高一數學題集合知識點必修一
集合具有某種特定性質的事物的總體。這里的“事物”可以是人，物品，也可以是數學元素。例如：1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集：緊急～。2、數學名詞。一組具有某種共同性質的數學元素：有理數的～。3、 口號 等等。集合在數學概念中有好多概念，如集合論：集合是現代數學的基本概念，專門研究集合的理論叫做集合論?？低?Cantor，G.F.P.，1845年—1918年，德國數學家先驅，是集合論的，目前集合論的基本思想已經滲透到現代數學的所有領域。
集合，在數學上是一個基礎概念。什么叫基礎概念?基礎概念是不能用其他概念加以定義的概念。集合的概念，可通過直觀、公理的方法來下“定義”。
集合是把人們的直觀的或思維中的某些確定的能夠區(qū)分的對象匯合在一起，使之成為一個整體(或稱為單體)，這一整體就是集合。組成一集合的那些對象稱為這一集合的元素(或簡稱為元)。
元素與集合的關系
元素與集合的關系有“屬于”與“不屬于”兩種。
集合與集合之間的關系
某些指定的對象集在一起就成為一個集合集合符號，含有有限個元素叫有限集，含有無限個元素叫無限集，空集是不含任何元素的集，記做Φ?？占侨魏渭系淖蛹?，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有傳遞性?！赫f明一下：如果集合A的所有元素同時都是集合B的元素，則A稱作是B的子集，寫作A?B。若A是B的子集，且A不等于B，則A稱作是B的真子集，一般寫作A?B。中學教材課本里將?符號下加了一個≠符號(如右圖)，不要混淆，考試時還是要以課本為準。所有男人的集合是所有人的集合的真子集?！?/p>
集合的幾種運算法則
并集：以屬于A或屬于B的元素為元素的集合稱為A與B的并(集)，記作A∪B(或B∪A)，讀作“A并B”(或“B并A”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}交集：以屬于A且屬于B的元差集表示
素為元素的集合稱為A與B的交(集)，記作A∩B(或B∩A)，讀作“A交B”(或“B交A”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}例如，全集U={1，2，3，4，5}A={1，3，5}B={1，2，5}。那么因為A和B中都有1，5，所以A∩B={1，5}。再來看看，他們兩個中含有1，2，3，5這些個元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那么說A∪B={1，2，3，5}。圖中的陰影部分就是A∩B。有趣的是;例如在1到105中不是3，5，7的整倍數的數有多少個。結果是3，5，7每項減集合
1再相乘。48個。對稱差集：設A，B為集合，A與B的對稱差集A?B定義為：A?B=(A-B)∪(B-A)例如：A={a，b，c}，B={b，d}，則A?B={a，c，d}對稱差運算的另一種定義是：A?B=(A∪B)-(A∩B)無限集：定義：集合里含有無限個元素的集合叫做無限集有限集：令N是正整數的全體，且N_n={1，2，3，……，n}，如果存在一個正整數n，使得集合A與N_n一一對應，那么A叫做有限集合。差：以屬于A而不屬于B的元素為元素的集合稱為A與B的差(集)。記作：AB={x│x∈A，x不屬于B}。注：空集包含于任何集合，但不能說“空集屬于任何集合”.補集：是從差集中引出的概念，指屬于全集U不屬于集合A的元素組成的集合稱為集合A的補集，記作CuA，即CuA={x|x∈U，且x不屬于A}空集也被認為是有限集合。例如，全集U={1，2，3，4，5}而A={1，2，5}那么全集有而A中沒有的3，4就是CuA，是A的補集。CuA={3，4}。在信息技術當中，常常把CuA寫成~A。
集合元素的性質
1.確定性：每一個對象都能確定是不是某一集合的元素，沒有確定性就不能成為集合，例如“個子高的同學”“很小的數”都不能構成集合。這個性質主要用于判斷一個集合是否能形成集合。2.獨立性：集合中的元素的個數、集合本身的個數必須為自然數。3.互異性：集合中任意兩個元素都是不同的對象。如寫成{1，1，2}，等同于{1，2}?；ギ愋允辜现械脑厥菦]有重復，兩個相同的對象在同一個集合中時，只能算作這個集合的一個元素。4.無序性：{a，b，c}{c，b，a}是同一個集合。5.純粹性：所謂集合的純粹性，用個例子來表示。集合A={x|x<2}，集合A中所有的元素都要符合x<2，這就是集合純粹性。6.完備性：仍用上面的例子，所有符合x<2的數都在集合A中，這就是集合完備性。完備性與純粹性是遙相呼應的。
集合有以下性質
若A包含于B，則A∩B=A，A∪B=B
集合的表示方法
集合常用大寫拉丁字母來表示，如：A，B，C…而對于集合中的元素則用小寫的拉丁字母來表示，如：a，b，c…拉丁字母只是相當于集合的名字，沒有任何實際的意義。將拉丁字母賦給集合的方法是用一個等式來表示的，例如：A={…}的形式。等號左邊是大寫的拉丁字母，右邊花括號括起來的，括號內部是具有某種共同性質的數學元素。
常用的有列舉法和描述法。1.列舉法﹕常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列舉出來﹐寫在大括號內﹐這種表示集合的方法叫做列舉法。{1，2，3，……}2.描述法﹕常用于表示無限集合，把集合中元素的公共屬性用文字﹐符號或式子等描述出來﹐寫在大括號內﹐這種表示集合的方法叫做描述法。{x|P}(x為該集合的元素的一般形式，P為這個集合的元素的共同屬性)如：小于π的正實數組成的集合表示為：{x|0
4.自然語言常用數集的符號：(1)全體非負整數的集合通常簡稱非負整數集(或自然數集)，記作N;不包括0的自然數集合，記作N(2)非負整數集內排除0的集，也稱正整數集，記作Z+;負整數集內也排除0的集，稱負整數集，記作Z-(3)全體整數的集合通常稱作整數集，記作Z(4)全體有理數的集合通常簡稱有理數集，記作Q。Q={p/q|p∈Z，q∈N，且p，q互質}(正負有理數集合分別記作Q+Q-)(5)全體實數的集合通常簡稱實數集，記作R(正實數集合記作R+;負實數記作R-)(6)復數集合計作C集合的運算：集合交換律A∩B=B∩AA∪B=B∪A集合結合律(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)集合分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)集合德.摩根律集合
Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB集合“容斥原理”在研究集合時，會遇到有關集合中的元素個數問題，我們把有限集合A的元素個數記為card(A)。例如A={a，b，c}，則card(A)=3card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)1885年德國數學家，集合論創(chuàng)始人康托爾談到集合一詞，列舉法和描述法是表示集合的常用方式。集合吸收律A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A集合求補律A∪CuA=UA∩CuA=Φ設A為集合，把A的全部子集構成的集合叫做A的冪集德摩根律A-(BUC)=(A-B)∩(A-C)A-(B∩C)=(A-B)U(A-C)～(BUC)=~B∩~C～(B∩C)=~BU~C~Φ=E~E=Φ特殊集合的表示復數集C實數集R正實數集R+負實數集R-整數集Z正整數集Z+負整數集Z-有理數集Q正有理數集Q+負有理數集Q-不含0的有理數集Q
高一數學題集合知識點必修一
并集：以屬于A或屬于B的元素為元素的集合稱為A與B的并(集)，記作A∪B(或B∪A)，讀作“A并B”(或“B并A”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}交集：以屬于A且屬于B的元差集表示
素為元素的集合稱為A與B的交(集)，記作A∩B(或B∩A)，讀作“A交B”(或“B交A”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}例如，全集U={1，2，3，4，5}A={1，3，5}B={1，2，5}。那么因為A和B中都有1，5，所以A∩B={1，5}。再來看看，他們兩個中含有1，2，3，5這些個元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那么說A∪B={1，2，3，5}。圖中的陰影部分就是A∩B。有趣的是;例如在1到105中不是3，5，7的整倍數的數有多少個。結果是3，5，7每項減集合
1再相乘。48個。對稱差集：設A，B為集合，A與B的對稱差集A?B定義為：A?B=(A-B)∪(B-A)例如：A={a，b，c}，B={b，d}，則A?B={a，c，d}對稱差運算的另一種定義是：A?B=(A∪B)-(A∩B)無限集：定義：集合里含有無限個元素的集合叫做無限集有限集：令N是正整數的全體，且N_n={1，2，3，……，n}，如果存在一個正整數n，使得集合A與N_n一一對應，那么A叫做有限集合。差：以屬于A而不屬于B的元素為元素的集合稱為A與B的差(集)。記作：A\B={x│x∈A，x不屬于B}。注：空集包含于任何集合，但不能說“空集屬于任何集合”.補集：是從差集中引出的概念，指屬于全集U不屬于集合A的元素組成的集合稱為集合A的補集，記作CuA，即CuA={x|x∈U，且x不屬于A}空集也被認為是有限集合。例如，全集U={1，2，3，4，5}而A={1，2，5}那么全集有而A中沒有的3，4就是CuA，是A的補集。CuA={3，4}。在信息技術當中，常常把CuA寫成~A。
至于 學習方法 的講究，每位同學可根據自己的基礎、學習習慣、智力特點選擇適合自己的學習方法，這里主要根據教材的特點提出幾點供大家學習時參考。
l、要重視數學概念的理解。高一數學與*數學的區(qū)別是概念多并且較抽象，學起來“味道”同以往很不一樣，解題方法通常就來自概念本身。學習概念時，僅僅知道概念在字面上的含義是不夠的，還須理解其隱含著的深層次的含義并掌握各種等價的表達方式。例如，為什么函數y=f(x)與y=f-1(x)的圖象關于直線y=x對稱，而y=f(x)與x=f-1(y)卻有相同的圖象;又如，為什么當f(x-l)=f(1-x)時，函數y=f(x)的圖象關于y軸對稱，而y=f(x-l)與y=f(1-x)的圖象卻關于直線x=1對稱，不透徹理解一個圖象的對稱性與兩個圖象的對稱關系的區(qū)別，兩者很容易混淆。
2、‘學習立體幾何要有較好的空間想象能力，而培養(yǎng)空間想象能力的辦法有二：一是勤畫圖;二是自制模型協(xié)助想象，如利用四直角三棱錐的模型對照習題多看，多想。但最終要達到不依賴模型也能想象的境界。
3、學習解析幾何切忌把它學成代數、只計算不畫圖，正確的辦法是邊畫圖邊計算，要能在畫圖中尋求計算途徑。
4、在個人鉆研的基礎上，邀幾個程度相當的同學一起討論，這也是一種好的學習方法，這樣做?？梢园褑栴}解決得更加透徹，對大家都有益。
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集合元素的“三性”及其應用集合的特征是學好集合的基礎，是解集合題的關鍵，它主要指集合元素的確定性、互異性和無序性，這些性質為我們提供了解題的依據，特別是元素的互異性，稍有不慎，就易出錯．
下面就集合元素的這三個性質及應用加以說明．
一、注意正確理解其意義
1．確定性：
即對任意給定的對象，相對于某個集合來說，要么屬于這個集合，要么不屬于這個集合，二者必居其一，關鍵是理解“確定”的含義．
2．互異性：
對于一個給定的集合，集合中的元素一定是不同的（或說是互異的），即同一個集合中的任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入任一個集合時，只能作為這個集合的一個元素．
3．無序性：
由于集合中元素是確定且是互異的，元素完全相同的集合是相等的集合，因此，集合中的元素與順序無關．
二、注意正確利用三性解題
例1 下列命題正確的有哪幾個？
⑴很小的實數可以構成集合；
⑵集合｛1，5｝與集合｛5，1｝是不同的集合；
⑶集合｛（1，5）｝與集合｛（5，1）｝是同一個集合；
⑷由1，，，∣－∣，0.5 這些數組成的集合有5個元素．
分析：這類題目主要考查對集合概念的理解，解決這類問題的關鍵是以集合中元素的確定性、互異性、無序性為標準作出判斷．
解：⑴很小是一個模糊概念，沒有明確的標準，故我們很難確定某一個對象是否在其中，不符合集合元素的確定性，因此，“很小的實數”不能構成集合，故⑴錯．
⑵｛1，5｝是由兩個數1，5組成的集合，根據集合元素的無序性，它與｛5，1｝是同一個集合，故⑵錯．
⑶｛（1，5）｝是由一個點（1，5）組成的單元素集合，由于（1，5）與（5，1）表示兩個不同的點，所以｛（1，5）｝和｛（5，1）｝是不同的兩個集合，故⑶錯．
⑷＝，∣－∣＝0.5，因此，由1，，，∣－∣，0.5 這些數組成的集合為｛1，，0.5｝，共有3個元素．因此，⑷也錯．
例2 已知集合A＝｛，＋，＋2｝，B＝｛，，｝，其中，A＝B，求的值．
分析：本題最常見的錯誤是認為這兩個集合的對應項相同，列出相應的關系式，然后求出的值，這顯然違背了集合的無序性．
解：∵A＝B，及集合元素的無序性 ，
∴有以下兩種情形：
?、佟?br> 消去，解得＝1，此時＝＝，與集合中元素的互異性矛盾，∴1．
② 消去，解得＝－，或＝1（舍去），故的值為－．
評注：本題中，利用集合元素的無序性和兩集合相等時的元素特征，得出兩個方程組，打開了解題的大門，求出值后，又利用了集合元素的互異性進行檢驗，保證了所求的結果的準確性．
例3 設A＝｛x∣＋（b＋2）x＋b＋1＝0，bR｝，求A中所有元素之和．
錯解：由＋（b＋2）x＋b＋1＝0得?。▁＋1）（x＋b＋1）＝0
（1）當b＝0時，x1 ＝x2?。?，此時A中的元素之和為－2．
（2）當b0時，x1 ＋x2 ＝－b－2．
分析
上述解法錯在（1）上，當b＝0時，方程有二重根－1，集合A＝｛－1｝，故元素之和為－1，犯錯誤的原因是忽視了集合中元素的“互異性”．因此，在列舉法表示集合時，要特別注意元素的“互異性”．
例4 已知集合 {2，3,+4+2}， B＝{0,7, +4-2,2-}，且AB={3,7},求值．
分析：
∵ AB={3,7}
∴ +4+2=7．即 =1，或=－5．
至此不少學生認為大功告成，事實上，這只求出了集合A，集合B中的元素是什么,它是否滿足元素的互異性,有待于進一步檢查．當=－5時,2－=7， 在B中重復出現,這與元素的互異性相矛盾，故應舍去=－5．當=1時, B={0,7,3,1} 且AB={3,7}
∴ =1
評注：集合元素的確定性，互異性，無序性在解題中有重要的指導作用，忽視這一點差之毫厘則失之千里．
集合與函數、導數部分易錯題分析
1．進行集合的交、并、補運算時，不要忘了全集和空集的特殊情況，不要忘記了借助數軸和文氏圖進行求解.
2．你會用補集的思想解決有關問題嗎？
3．求不等式（方程）的解集，或求定義域（值域）時，你按要求寫成集合的形式了嗎？
[問題]:、 、 的區(qū)別是什么？
4．*不等式的解法及其幾何意義是什么？
5．解一元一次不等式（組）的基本步驟是什么？
[問題]:如何解不等式：？
6．三個二次（哪三個二次？）的關系及應用掌握了嗎？如何利用二次函數求最值？注意到對二次項系數及對稱軸進行討論了嗎？
7．簡單命題與復合命題有什么區(qū)別？四種命題之間的相互關系是什么？如何判斷充分與必要條件？
[問題]：請舉例說明“否命題”與“命題的否定形式”的區(qū)別.
什么是映射、什么是一一映射？
[問題]：已知：A={1，2，3}，B={1，2，3}，那么可以作個A到B上的映射，那么可以作 個A到B上的一一映射.
9．函數的表示方法有哪一些？如何判斷函數的單調性、周期性、奇偶性？單調性、周期性、奇偶性在函數的圖象上如何反應？什么樣的函數有反函數？如何求反函數？互為反函數的圖象間有什么關系？求一個函數的解析式或一個函數的反函數時，你注明函數的定義域了嗎？
[問題]：已知函數求函數的單調遞增區(qū)間.（你處理函數問題是是否將定義域放在首位）
[問題]：已知函數圖象與的圖象關于直線.
10、如何正確表示分數指數冪？指數、對數的運算性質是什么？
11、你熟練地掌握了指數函數和對數函數的圖象與性質嗎?
[問題]：已知函數上，恒有，則實數取值范圍是： 。
12．你熟練地掌握了函數單調性的證明方法嗎？（定義法、導數法）
13．如何應用函數的單調性與奇偶性解題?①比較函數值的大??；②解抽象函數不等式；③求參數的范圍（恒成立問題）.這幾種基本應用你掌握了嗎？
[問題]：寫出函數的圖象及單調區(qū)間.時,求函數的最值.這種求函數的最值的方法與利用均值不等式求函數的最值的聯系是什么？
[問題]：證明“函數的圖象關于直線對稱”與證明“函數與函數的圖象關于直線對稱”有什么不同嗎？
例題講解
1、忽略的存在：
例題1、已知A={x|}，B={x|}，若AB，求實數m的取值范圍．
【錯解】AB，解得：
【分析】忽略A=的情況.
【正解】（1）A≠時，AB，解得：；
（2）A= 時，，得.
綜上所述，m的取值范圍是（,
2、分不清四種集合：、、、的區(qū)別.
例題2、已知函數，，那么集合中元素的個數為…………………………………………………………………………（ ）
（A） 1 （B）0 （C）1或0 （D） 1或2
【錯解】：不知題意，無從下手,蒙出答案D.
【分析】：集合的代表元，決定集合的意義，這是集合語言的特征.事實上，、、、分別表示函數定義域，值域，圖象上的點的坐標，和不等式的解集.
【正解】：本題中集合的含義是兩個圖象的交點的個數.從函數值的*性可知，兩個集合的交中至多有一個交點.即本題選C.
3、搞不清楚是否能取得邊界值：
例題3、A={x|x<－2或x>10}，B={x|x<1－m或x>1＋m}且BA，求m的范圍.
【錯解】因為BA，所以：.
【分析】兩個不等式中是否有等號，常常搞不清楚.
【正解】因為BA，所以：.
4、不理解有關邏輯語言：
例題4、“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命題，則以下四個命題：⑴M的元素都不是P的元素；⑵M中有不屬于P元素；⑶M中有P的元素；⑷M的元素不都是P的元素，其中真命題的個數有……………………………………………………………（ ）
（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個
【錯解】常見錯誤是認為第（4）個命題不對.
【分析】實際上，由“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命題知非空集合M不是集合P的子集，故“M的元素不都是P的元素”（M的元素有的是、有的不是集合P的元素，或M的元素都不是P的元素）是正確的.
【正解】正確答案是B（2、4兩個命題正確）.
5、解集錯誤地寫成不等式或不注意用字母表示的兩個數的大小：
例題5、若a<0, 則關于x的不等式的解集是 .
【錯解】x<－a或x >5 a
【分析】把解集寫成了不等式的形式；沒搞清5 a和－a的大小.
【正解】{x|x<5 a或x >－a }
6、不能嚴謹地掌握充要條件的概念：
例題6、題甲“a，b，c成等比數列”，命題乙“”，那么甲是乙的………………（ ）
（A） 充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充要條件（D）既不充分又非必要條件
【錯解】選C
【分析】若a，b，c成等比數列，則；若，則有可能.
【正解】正確答案為：D
7、考慮充要條件時，忽略了前提條件：
例題7、△ABC中，“A=B”是“sinA=sinB”的…………………………………（ ）條件
（A）充分不必要 （B）必要不充分 （C）充要 （D） 非充分非必要
【錯解】錯選A
【分析】實際上，由“A=B”能推出“sinA=sinB”；在△ABC中，由正弦定理及“sinA=sinB”，可知，從而有“A=B”成立.
【正解】正確答案為C.
8、不能正確地理解有關概念，導致推理錯誤：
例題8、已知直線m、n和平面、，其中m、n，則∥的一個充分不必要條件是：……………………………………………………………………………………（ ）
（A）⊥,⊥ （B） m∥, n∥
（C） ∥,∥ （D）內不共線的三點到的距離相等
【錯解】錯選A.
【分析】注意：尋找的是一個充分不必要條件.
學生往往錯誤地認為：∥某條件，且某條件不能推出∥.
而實際上，應該是：某條件∥，且∥不能推出某條件.
【正解】正確答案為C.
9、邏輯推理混亂：
例題9、使不等式成立的充分而不必要的條件是…………………（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【錯解】搞不清所要求的條件和不等式的關系.
【分析】所要求的“某條件”滿足：（1）“某條件”不等式成立；
（2）“某條件”不等式成立；
【正解】正確答案為：B
10、不會用“等價命題”推理：
例題10、設命題p：|4x－3|≤1，命題q：，若p是q的必要而不充分條件，則實數a的取值范圍是 .【錯解】常見錯誤解答是：.
【分析】解答此題比較好的思路是：由p是q的必要而不充分條件得知p是q的充分而不必要條件，然后再解兩個不等式，求a的取值范圍.【正解】正確答案是.
11、不注意數形結合，導致解題錯誤.
例題11、曲線與直線有兩個不同交點的充要條件是
【錯解】誤將半圓認為是圓.【分析】利用“數形結合”易于找到正確的解題思路.
【正解】可得正確答案為：
透過偽裝抓本質—集合思想及集合語言在解題中的應用
集合是高中數學的基礎，也是高考常考的內容之一。集合思想及集合語言可以滲透到高中數學的各個分支，它可與函數、方程和不等式等許多知識綜合起來進行考查。在解題時首先需要我們能讀懂集合語言，將集合語言轉換為數學語言，再用相關的知識解決問題。本文將通過幾個典型例題的剖析，與大家談談集合思想與集合語言與其它知識的綜合應用。
一、集合與函數
例1、已知集合，，那么等于 （ ）
A.（0,2）,(1,1) B.{(0,2),(1,1)} C. {1,2} D.
解析：由代表元素可知兩集合均為數集，又P集合中y是函數中的y的取值范圍，故P集合的實質是函數的值域。而Q集合則為函數的定義域，從而易知，選D.
評注：認識一個集合，首先要看其代表元素，再看該元素的屬性，從而確定其實質。
例2、已知A=，B=，若，求k的取值范圍。
分析：A集合是函數的定義域，而B集合中的方程可簡化為：
，故本題的題意是使方程有解的k的取值范圍，顯然即求函數的值域。
解：由，得A=，當
時，可得：，
∴ ∴A=[-3,0]
二、集合與方程
例3、已知，求實數p的取值范圍。
剖析：集合A是方程x2+(p+2)x+1=0的解集，則由，可得兩種情況：
A=φ，則由，得：
方程x2+(p+2)x+1=0無正實根。則或（x1x2=1>0）
于是
例4、已知集合,集合，其中x、t均為實數，求。
剖析：集合A是使方程x2+2tx-4t-3=0的解集為φ的t的取值范圍，集合B是使方程x2+2tx-2t=0有解的t的取值范圍，于是由，得.
三、集合與不等式
例5、已知集合A={a|ax2+4x-1≥-2x2-a恒成立}，B={x| x2-(2m+1)x+m(m+1)<0},
若A∩B≠Φ，求實數m的取值范圍。
分析：集合A是使不等式ax2+4x-1≥-2x2-a恒成立的a的取值范圍，集合B是不等式x2-(2m+1)x+m(m+1)<0的解集，下面即可用相關知識解決。
解：由不等式ax2+4x-1≥-2x2-a恒成立，可得：(a＋2)x2+4x＋(a-1)≥0(★),
(1)當a+2=0時，即a=-2時,(★)式可化為x>3/4，顯然不符合題意。
(2) 當a+2≠0時，欲使(★)式對任意x均成立，必需滿足
，解之得A=。
又可求得B={x|m
四、集合與解幾
例6、已知集合，如果,求實數a的取值范圍。
剖析：從代表元素(x,y)看,這兩個集合均為點集，又x2+mx-y+2=0及x-y+1=0是兩個方程，故A∩B≠φ的實質為兩個曲線有交點的問題，我們將其譯成數學語言即為：“拋物線x2+mx-y+2=0與線段x-y+1=0（0≤x≤2）有公共點，求實數m的取值范圍?！?br>解：由，得 ①
，方程①在區(qū)間[0,2]上至少有一個實數解.
首先，由.
當時，由x1+x2=-(m-1)<0及x1x2=1知，方程①只有負根，不符合要求；
當時，由x1+x2=-(m-1)>0及x1x2=1>0知, 方程①有兩個互為倒數的正根，故必有一根在區(qū)間內，從而方程①至少有一個根在區(qū)間[0,2]內。
綜上，所求m的取值范圍是。
例7、已知集合，若，求實數a的值。
解：（1）當a=1時，集合B=Φ，符合題意。
（2）當a≠1時，易知A、B兩集合均為點集，其中A集合為直線y=(a+1)(x-2)+3(x≠2)上的點集，B集合為直線上的點集，由，知兩直線無公共點，故又有以下兩種情況：
①若兩直線平行，則-(a+1)=a+1 ∴a=-1
②若直線經過點（2,3），則，解之得：。
綜上：
五、集合與導數
例7、已知，
A=，則B中的元素個數為
A.有3個 B.有2個 C.有且僅有1個 D.不存在
解：由導數的知識可知：A={x|x2-12x+20≤0}＝{x|2≤x≤10},
又，∴
當x∈A時，易知： ∴f(x)在區(qū)間[2,10]上為增函數
而可求得f(2)<0,f(10)>0, ∴方程f(x)＝0在區(qū)間[2,10]上有且僅有一解。
即集合B中僅有一個元素。
練習：
已知， , 求
已知， , 求
已知， , 求B
（4）已知，，求M
集合學習中的錯誤種種
數學是一門嚴謹的*，在集合學習中，由于對概念理解不清或考慮問題不全面等，稍不留心就會不知不覺地產生錯誤，本文歸納集合學習中的種種錯誤，認期幫助同學們避免此類錯誤的再次發(fā)生．
一、混淆集合中元素的形成
例1 集合，，則．
錯解： 解方程組得
剖析： 產生錯誤的原因在于沒有弄清楚集合中元素的形式，混淆點集與數集．集合中的元素都是有序數對，即平面直角坐標系中的點，而不是數，因而是點集，而不是數集．
二、忽視空集的特殊性
例2 已知，，若，則的值為．
錯解： 由 得
由 得或
或3 或
剖析：由于忽視空集的特殊性――空集是任何集合的子集，產生丟解的錯誤，以上只討論了的情形，還應討論的情形，當時，．
的值為．
三、忽視集合中的元素的互異性這一特征
例3 已知集合，，且，求的值．
錯解：，必有
或
剖析：由于忽視集合中元素應互異這一特征，產生增解的錯誤．求出的值后，還必須檢驗是否滿足集合中元素應互異這一特征．
事實上，（1）當時，，不滿足中元素應互異這一特征，故應舍去．
（2）當時，，滿足且集合中元素互異．
的值為1．
四、沒有弄清全集的含義
例4 設全集，，求的值．
錯解：且
或
剖析：沒有正確理解全集的含義，產生增解的錯誤．全集中應含有討論集合中的一切元素，所以還須檢驗．
（1）當時，，此時滿足．
（2）當時，，應舍去，．
五、沒有弄清事物的本質
例5 若，，試問是否相等．
錯解：
剖析：只看到兩集合的形式區(qū)別，沒有弄清事物的本質，事實上是偶數集，也是偶數集，兩集合應相等，盡管形式不同．
換句話說，
兩集合中所含元素完全相同，
六、誤用數學符號
例6 用，填空
錯解：
錯誤的原因在于沒有弄清符號“”與“”之間的區(qū)別
“”表示元素與集合之間的關系，“”表示集合與集合之間的關系，表示集合，亦是集合，．
集合中的數學思想方法例析
數學思想和數學方法是數學的靈魂，是知識轉化為能力的橋梁，信息社會越來越多的要求人們自覺地運用數學思想提出問題和用數學方法解決問題．近幾年的高考數學試題，越來越注重對數學思想和數學方法的考查，這已成為高考熱點問題．為幫助同學們更好地理解和掌握最常用的基本數學思想和數學方法，特結合同學們已經學過的集合中有關的數學思想方法要點歸納如下，以擴大讀者的視野．
一、等價轉化思想
在解集合問題時，當一種集合的表達式不好入手時，可將其先轉化為另一種形式．比如：將= B或將= A轉化為，將轉化為，將轉化為等．
例1 已知M ={(x，y)| y = x＋a}，N ={(x，y)| x＋y= 2}，求使得=成立的實數a的取值范圍。
解：=等價于方程組無解。
把y = x＋a代入方程x＋y= 2中，消去y，得關于x的一元二次方程2x＋2ax＋a－2= 0。①
問題又轉化為一元二次方程①無實根，即△= (2a)－4×2×(a－2)＜0，由此解得a＞2或a＜－2。
故所求實數a的取值范圍是{a | a＞2或a＜－2。
評析：在理解集合符號的基礎上，準確地將集合語言轉化為*已學過的數學問題，然后用所學的知識和方法把問題解決．這種轉化可以把抽象知識用簡潔、準確的數學語言表達出來，提高解題效率．
二、分類討論思想
解答集合問題時常常遇到這樣的情況：解題過程中，解到某一步時，不能再以統(tǒng)一的方法、統(tǒng)一的形式繼續(xù)進行，因為這時被研究的數學對象已包含了多種可能的情形，必須選定一個標準，根據這個標準劃分成幾個能用不同形式去解決的小問題，將這些小問題一一加以解決，從而使問題得到解決，這就是分類討論的思想方法．
例2 設集合A = {x | x＋4x = 0，xR}，B = {x | x＋2(a＋1)x＋a－1= 0，aR，xR }，若，求實數a的取值范圍。
分析：BA可分為B =，BA，B = A三種情況討論。
解：∵A = {0，－4}，∴BA分以下三種情況：
⑴當B = A時，B= {0，－4}，由此知：0和－4是方程x＋2(a＋1)x＋a－1= 0的兩個根，由根與系數之間的關系，得：
a = 1。
⑵當BA時，又可分為：
①B =時，△= 4(a＋1)－4(a－1)＜0，解得a＜－1；
②B≠時，B = {0}或B = {－4}，并且△= 4(a＋1)－4(a－1) = 0，解得a=－1，此時B = {0}滿足題意。
綜合⑴、⑵知，所求實數a的值為a≤－1或a = 1。
評析：解分類討論問題的實質是將整體化為部分來解決。對于含參數的計劃問題，常需要對參數分類討論。在分類時要注意“不重不漏”。由于空集是任何非空集合的真子集，空集必是非空集合的真子集，因此，B =φ時也滿足BA．所以BA中就應考慮B =與B≠兩種情況，就是說，正是空集引法的分類討論．
三、開放思想
開放型問題是相對于中學課本中有明確條件和結論的封閉型問題而言的．這類問題的知識覆蓋面大，綜合性較強，靈活選擇方法的要求較高，再加上題意新穎，構思精巧，具有相當的深度和難度．集合中的開放型問題問題大多是結論不定性開放型問題．
例3 設集合A = {(x，y)|y－x－1= 0 }，集合B ={(x，y)| 4x＋2x－2y＋5 = 0 }，集合C ={(x，y)| y = kx＋b }，是否存在k，bN，使得？若存在，請求出k，b的值；若不存在，請說明理由．
解：因為，即，所以且．
將y = kx＋b代入y－x－1= 0，得kx＋(2kb－1)x＋b－1= 0，
因為，所以△= (2kb－1)－4k( b－1)＜0，即4k－4kb＋1＜0，若此不等式有解，應有16b－16＞0，即b＞1．①
又將y = kx＋b代入4x＋2x－2y＋5 = 0，得：4x＋(2－2k)x＋(5－2b) = 0，
因為，所以△= (2－2k)－4k(5－2b)＜0，即k－2k＋8b－19＜0，若此不等式有解，應有4－4(8b－19)＞0，解得b＜．②
由不等式①、②及bN，得b = 2．
將b = 2代入由△＜0和△＜0組成的不等式組，得，再注意到kN，求得k = 1．
故存在自然數k = 1，b = 2使得．
評析：在數學命題中，常以適合某種性質的結論“存在(肯定型)”、“不存在(否定型)”、“是否存在(討論型)”等形式出現．“存在”就是有適合某種條件或符合某種性質的對象，對于這類問題無論用什么方法只要找出一個，就說明存在．“不存在”就是無論用什么方法都找不出一個適合某種已知條件或性質的對象，這類問題一般需要推理論證．“是否存在”結論有兩種：一種是可能或存在；另一種是不存在，則需要說明理由．
集合解題八項注意
解集合問題時，若對集合的基本概念理解不透徹，或思考不全面，常常致錯，為此，本文對集合解題時提出“八項”注意，希望引起同學們的重視。
1. 注意集合中元素的互異性
集合中任何兩個元素都是不同的，相同元素歸入同一集合時只能算作一個元素，因此集合中元素是沒有重復的，忽視互異性會引出錯解。
例1. ，求實數a的值。
錯解：由題意知：
即
分析：，這與集合元素的互異性相矛盾，舍去。
2. 注意集合元素的含義
集合中元素是有一定意義的，對此，稍有疏忽就會導致解題失誤。
例2. 設，，則_____。
錯解：由方程組解得：
故
分析：導致錯誤的原因是沒有正確理解集合元素的含義，A、B中的元素是有序數對，即表示平面直角坐標系中的點，故
3. 注意的特殊性
是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，與任何集合的并集等于集合本身，忽視它的特殊性，同樣會造成解題錯誤。
例3. 已知集合，若，求由實數a組成的集合C。
錯解：因為所以
即，所以
分析：導致錯誤的原因是漏掉的情形，當時，亦滿足條件，可得：
4. 注意字母的取值范圍
當參數包含于多個元素的表達式時，運算過程中容易擴大參數的取值范圍，應注意檢驗，否則會發(fā)生錯解。
例4. 已知集合，且
，求實數a的值。
錯解：由，知
分析：當時，
此時矛盾，應舍去。
5. 注意取等的可能性
例5. 已知，，且，求實數a的取值范圍。
分析：由已知得：
注：不要忽略的情況。
6. 注意分類討論的重要性
例6. 已知集合，若，求實數a和b的值。
分析：因為，故，故B中含一個或兩個元素，通過討論，可求出：
7. 注意隱含條件
例7. 全集，求實數a的值。
錯解：因為
所以從而解得：
分析：導致錯誤的原因是沒有考慮到隱含條件，因為S是全集，所以。
當，符合題意；
當時，，不符合題意，故。
注：在解有關含參數的集合題時，需要進行驗證結果是否滿足題中的條件（包含隱含條件）。
8. 回到定義，也是一法
在遇到難入手的題目時，有時回到定義上來，反而變簡單了。
例8. 設，且則S為（ ）
分析：由題意，可求出集合M和N，從而求出p，q，r。
由故解得
由
故又由
例1、已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y2-6y+8≤0}，若A∩B≠φ，求實數a的取值范圍。
分析：本題若直接去解，情形較復雜，也不容易求得正確結果，若我們先考慮其反面，再求其補集，同樣也可以求解。
解：易解得A={y|y>a2+1或y
由，得
∴或.
即A∩B＝φ時a的范圍為或.而A∩B≠φ時a的范圍顯然是其補集,從而,易知所求范圍為.
評注：一般地，我們在解時，若正面情形較為復雜，我們就可以先考慮其反面，再利用其補集，求得其解，這就是“補集思想”。
例2、若下列三個方程：x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0中至少有一個方程有實根，試求實數a的取值范圍。
分析：本題的正面有七種情形需要考慮，而其反面只有一種，即“三個方程均無實根”。故先考慮其反面是捷徑。
解：若三個方程均無實根，則有
。設A=
于是三個方程至少有一個方程有實根的實數a的取值范圍為
例3、若x、y、z均為實數，且，求證：a、b、c中至少有一個大于0.
分析：本題直接證明不僅情形較多，而且難于找到思路。若我們能夠證明其反面不能成立，則就能肯定其正面成立。
證明：假設a、b、c均小于等于0，則a＋b＋c≤0,
又a＋b＋c＝x2-2y+y2-2z+z2-2x+π＝(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3>0恒成立∴假設錯誤，故原命題成立，即a、b、c中至少有一個大于0.
高一數學必修一集合試題及答案
集合的學習在高一數學課程中占據十分重要的地位，同學通過試題練習能夠加強理解知識點，下面是我給大家?guī)淼母咭粩祵W必修一集合試題，希望對你有幫助。
高一數學必修一集合試題一、選擇題
1.(20 13年高考四川卷)設集合A={1,2,3},集合B={ -2,2},則A∩B等于( B )
(A) (B){2}
(C){-2,2} (D){-2,1,2,3}
解析:A∩B={2},故選B.
2.若全集U={-1,0,1,2},P={x∈Z|x2<2},則?UP等于( A )
(A){2} (B){0,2}
(C){-1,2} (D){-1,0,2}
解析:依題意得集合P={-1,0,1},
故?UP={2}.故選A.
3.已知集合A={x|x>1},則(?RA)∩N的子集有( C )
(A)1個 (B)2個 (C)4個 (D)8個
解析:由題意可得?RA={x|x≤1},
所以(?RA)∩N={0,1},其子集有4個,故選C.
4.(2013年高考*新課標卷Ⅰ)已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|-
(A)A∩B= (B)A∪B=R
(C)B?A (D)A?B
解析:A={x|x>2或x<0},
∴A∪B=R,故選B.
5.已知集合M={x ≥0,x∈R},N={y|y=3x2+1,x∈R},則M∩N等于( C )
(A) (B){x|x≥1}
(C){x|x>1} (D){x|x≥1或x<0}
解析:M={x|x≤0或x>1},N={y|y≥1}={x|x≥1}.
∴M∩N={x|x>1},故選C.
6.設集合A={x + =1},集合B={y - =1},則A∩B等于( C )
(A)[-2,- ] (B)[ ,2]
(C)[-2,- ]∪[ ,2] (D)[-2,2]
解析:集合A表示橢圓上的點的橫坐標的取值范圍
A=[-2,2],
集合B表示雙曲線上的點的縱坐標的取值范圍
B=(-∞,- ]∪[ ,+∞),
所以A∩B=[-2,- ]∪[ ,2].故選C.
二、填空題
7.(2012 年高考上海卷)若集合A={x|2x+1>0},
B={x||x-1|<2},則A∩B=.
解析:A={x x>- },B={x|-1
所以A∩B={x -
答案:{x -
8.已知集合A={ x <0},且2∈A,3?A,則實數a的取值范圍是 .
解析:因為2∈A,所以 <0,
即(2a-1)(a- 2)>0,
解得a>2或a< .①
若3∈A,則 <0,
即( 3a-1)(a-3)>0,
解得a>3或a< ,
所以3?A時, ≤a≤3,②
①②取交集得實數a的取值范圍是 ∪(2,3].
答案: ∪(2,3]
9.(2013濟南3月模擬)已知集合A={-1,1},B={x|ax+1=0},若B?A,則實數a的所有可能取值組成的集合為.
解析:若a=0時,B= ,滿足B?A,
若a≠0,B=(- ),
∵B?A,
∴- =-1或- =1,
∴a=1或a=-1.
所以a=0或a=1或a=-1組成的集合為{-1,0,1}.
答案:{-1,0,1}
10.已知集合A={x|x2+ x+1=0},若A∩R= ,則實數m的取值范圍是.
解析:∵A∩R= ,∴A= ,
∴Δ=( )2-4<0,∴0≤m<4.
答案:[0,4)
11.已知集合A={x|x2-2x-3>0},B={x|x2+ax+b≤0},若A∪B=R,A∩B={x| 3
解析:A={x|x<-1或x>3},
∵A∪B=R,A∩B={x|3
∴B={x|-1≤x≤4},
即方程x2+ax+b=0的兩根為x1=-1,x2=4.
∴a=-3,b=-4,
∴a+b=-7.
答案:-7
三、解答題
12.已知集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},分別求適合下列條件的a的值.
(1)9∈(A∩B);
(2){9}=A∩B.
解:(1) ∵9∈(A∩B),
∴2a-1= 9或a2=9,
∴a=5或a=3或a=-3.
當a=5時,A={-4,9,25},B={0,-4,9};
當a=3時,a-5=1-a=-2,不滿足集合元素的互異性;
當a=-3時,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},
所以a=5或a=-3.
(2)由(1)可知,當a=5時,A∩B={-4,9},不合題意,
當a=-3時,A∩B={9}.
所以a=- 3.
13.已知集合A={x|x2-2x-3≤0};B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.
(1)若A∩B=[0,3],求實數m的值;
(2)若A??RB,求實數m的取值范圍.
解:由已知得A={x|-1≤x≤3},
B={x|m-2≤x≤m+2}.
(1)∵A∩B=[0,3],
∴
∴m=2.
(2)?RB={x|xm+2},
∵A??RB,
∴m-2>3或m+2<-1,
即m>5或m<-3.
14.設U=R,集合A={x |x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0},若
(?UA)∩B= ,求m的值.
解:A={x|x=-1或x=-2},
?UA={x|x≠-1且x≠-2}.
方程x2+(m+1)x+m=0的根是x1=-1,x2=-m,
當-m=-1,即m=1時,B={-1},
此時(?UA)∩B= .
當-m≠-1,即m≠1時,B={-1,-m},
∵(?UA)∩B= ,
∴-m=-2,即m=2.
所以m=1或m=2.
高一數學必修一集合知識點集合的三個特性
(1)無序性
指集合中的元素排列沒有順序，如集合A={1,2}，集合B={2,1}，則集合A=B。
例題：集合A={1,2}，B={a,b}，若A=B，求a、b的值。
解：，A=B
注意：該題有兩組解。
(2)互異性
指集合中的元素不能重復，A={2,2}只能表示為{2}
(3)確定性
集合的確定性是指組成集合的元素的性質必須明確，不允許有模棱兩可、含混不清的情況。
特殊的集合
非負整數集(即自然數集)N正整數集N*或N+
整數集Z有理數集Q實數集R
集合的表示方法：列舉法與描述法。
①列舉法：{a,b,c……}
②描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來。如{x?R|x-3>2},{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}
③語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
例：不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2}
強調：描述法表示集合應注意集合的代表元素
A={(x,y)|y=x2+3x+2}與B={y|y=x2+3x+2}不同。集合A中是數組元素(x，y)，集合B中只有元素y。
高一數學學習方法(1)記數學筆記，特別是對概念理解的不同側面和數學規(guī)律，教師在課堂中拓展的課外知識。記錄下來本章你覺得最有價值的思想方法或例題，以及你還存在的未解決的問題，以便今后將其補上。
(2)建立數學糾錯本。把平時容易出現錯誤的知識或推理記載下來，以防再犯。爭取做到：找錯、析錯、改錯、防錯。達到：能從反面入手深入理解正確東西;能由果朔因把錯誤原因弄個水落石出、以便對癥下藥;解答問題完整、推理嚴密。
(3)熟記一些數學規(guī)律和數學小結論，使自己平時的運算技能達到了自動化或半自動化的熟練程度。
(4)經常對知識結構進行梳理，形成板塊結構，實行“整體集裝”，如表格化，使知識結構一目了然;經常對習題進行類化，由一例到一類，由一類到多類，由多類到統(tǒng)一;使幾類問題歸納于同一知識方法。
高一數學集合知識點及例題講解
掌握好集合的知識是高一數學學習本身的需要，當然學生還需要根據例題來理解，下面是我給大家?guī)淼母咭粩祵W集合知識點及例題講解，希望對你有幫助。
高一數學集合知識點及例題講解1、理解特殊概念元素
集合是由元素確定的。集合的表示方法、集合的分類、集合的運算也都是通過元素來刻畫的。所以，雖然集合中的概念、關系比較多，但只要抓住了元素這個核心概念，集合問題也就迎刃而解。如果你對元素的概念還不太理解，下面的課程和練習可以幫助你度過難關：
高中數學必修1預習課《集合的概念與表示》
2、抓住特殊性質互異性
解決集合元素的問題時，我們一定要注意集合中的元素要滿足互異性，以免產生增根。
3、注意特殊集合空集
空集是不含任何元素的集合。我們規(guī)定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。因而，在涉及集合之間關系的問題時要特別注意空集。
高中數學必修1預習課《集合間的關系與集合的運算》
4、利用特殊工具韋恩圖和數軸
集合的表示方法可分為列舉法、描述法、圖示法。列舉法一般表示有限集，描述法一般表示無限集，用于書寫最終結果。在運算過程中，一般用數軸表示連續(xù)型元素的集合，用韋恩圖表示離散型元素的集合。圖形語言可以幫我們快捷而直觀的找出答案，提高解題速度。
某學校舉辦運動會時，高一(1)班共有26名學生參加比賽，有15人參加游泳比賽，有8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時參加游泳比賽和田徑比賽的有3人，同時參加游泳比賽和球類比賽的有3人，沒有人同時參加三項比賽，則同時參加球類比賽和田徑比賽的學生有______人。
高一數學集合必背知識點1、集合的含義：
“集合”這個詞首先讓我們想到的是上體育課或者開會時老師經常喊的“全體集合”。數學上的“集合”和這個意思是一樣的，只不過一個是動詞一個是名詞而已。
所以集合的含義是：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，簡稱集，其中每一個對象叫元素。比如高一二班集合，那么所有高一二班的同學就構成了一個集合，每一個同學就稱為這個集合的元素。
2、集合的表示
通常用大寫字母表示集合，用小寫字母表示元素，如集合A={a，b，c}。a、b、c就是集合A中的元素，記作a∈A，相反，d不屬于集合A，記作d?A。
有一些特殊的集合需要記憶：
非負整數集(即自然數集)N正整數集N*或N+
整數集Z有理數集Q實數集R
集合的表示方法：列舉法與描述法。
①列舉法：{a,b,c……}
②描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來。如{x?R|x-3>2},{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}
③語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
例：不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2}
強調：描述法表示集合應注意集合的代表元素
A={(x,y)|y=x2+3x+2}與B={y|y=x2+3x+2}不同。集合A中是數組元素(x，y)，集合B中只有元素y。
高一數學集合練習1.選擇適當的方法表示下列集合：
(1)*不大于3的整數組成的集合;
(2)方程(3x-5)(x+2)=0的實數解組成的集合;
(3)一次函數y=x+6圖像上所有點組成的集合.
【解】 (1)*不大于3的整數是-3，-2，-1,0,1,2,3，共有7個元素，用列舉法表示為{-3，-2，-1,0,1,2,3};
(2)方程(3x-5)(x+2)=0的實數解僅有兩個，分別是53，-2，用列舉法表示為{53，-2};
(3)一次函數y=x+6圖像上有無數個點，用描述法表示為{(x，y)|y=x+6}.
2.已知集合A中含有a-2,2a2+5a,3三個元素，且-3∈A，求a的值.
【解】 由-3∈A，得a-2=-3或2a2+5a=-3.
(1)若a-2=-3，則a=-1，
當a=-1時，2a2+5a=-3，
∴a=-1不符合題意.
(2)若2a2+5a=-3，則a=-1或-32.
當a=-32時，a-2=-72，符合題意;
當a=-1時，由(1)知，不符合題意.
綜上可知，實數a的值為-32.
3.已知數集A滿足條件：若a∈A，則11-a∈A(a≠1)，如果a=2，試求出A中的所有元素.
【解】 ∵2∈A，由題意可知，11-2=-1∈A;
由-1∈A可知，11-?-1?=12∈A;
由12∈A可知，11-12=2∈A.
尋找高一數學練習題（精）？
(滿分150，兩節(jié)課內完成)一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把正確答案的代號填在題后的括號內。
1．已知集合中的三個元素可構成某個三角形的三條邊長，
那么此三角形一定不是（ ）
A．直角三角形 B．銳角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰三角形
2．方程組的解的集合是（ ）
A．｛x =2,y=1｝ B．｛2, 1｝ C．｛(2, 1)｝ D．
3．有下列四個命題：①是空集； ②若，則；
③集合有兩個元素；④集合是有限集。
其中正確命題的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．若則滿足條件的集合M的個數是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．已知，則的關系是（ ）
A． B． C．M∩P= D． M P
6．已知集合A、B、C滿足A∪B=A∪C，則（1）A∩B=A∩C （2）A=B
（3）A∩(RB)= A∩(RC) （4）(RA)∩B=(RA)∩C 中正確命題的序號是（ ）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
7．下列命題中，
(1)如果集合A是集合B的真子集，則集合B中至少有一個元素。
(2)如果集合A是集合B的子集，則集合A的元素少于集合的B元素。
(3)如果集合A是集合B的子集，則集合A的元素不多于集合B的元素。
(4)如果集合A是集合B的子集，則集合A和B不可能相等。
錯誤的命題的個數是：（ ）
A． 0 B．1 C．2 D．3
8．已知集合，由集合的所有元素組成集合這樣的實
數共有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
9．設，集合，
那么與集合的關系是（ ）
A． B．
C． D．
10．如右圖所示，I為全集，M、P、S為I的子集。
則陰影部分所表示的集合為（ ）
A．(M∩P)∪S B．(M∩P)∩S
C．(M∩P)∩(I S) D．(M∩P)∪(I S)
二、填空題：每題5分，共4題。請把答案填在題中橫線上。
11．已知,∈R，×≠0則以可能的取值為元素組成的集合用列舉法可表示為
＝ 。
12．設集合，滿足AB，則實數a的取值范圍是 。
13．定義，若，則N－M= 。
14．如右圖圖（1）中以陰影部分（含邊界）的點為元素所組成的集合
用描述法表示如下：
請寫出以右圖（2）中以陰影部分
（不含外邊界但包含坐標軸）的點
為元素所組成的集合
。
三、解答題：本大題共6題，共80分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（本小題滿分12分）
已知下列集合：
（1）=｛n | n = 2k+1,kN,k5｝；
（2）=｛x | x = 2k, kN, k3｝；
（3）=｛x | x = 4k＋1,或x = 4k－1,kk3｝；
問：（Ⅰ）用列舉法表示上述各集合；
（Ⅱ）對集合，，，如果使kZ,那么，，所表示的集合分別是什么？并說明與的關系。
16．（本小題滿分12分）
在2003年學校召開校運會。設A={x|x是參加100米跑的同學}，B={x|x是參加200米跑的同學}，C={x|x是參加4×100米接力跑的同學}。學校規(guī)定：每個同學最多只能參加兩個項目比賽。據統(tǒng)計，高一（8）班共有13人參加了此三項比賽，其中共有8人參加了4×100米接力跑項目，共有6人參加100米跑項目，共有5人參加200米跑項目；同時參加4×100米接力跑和100米跑的同學有3人，同時參加參加4×100米接力跑和200米跑的同學有2人。
問：（Ⅰ）同時參加100米跑和200米跑項目的同學有多少個？
（Ⅱ）只參加200米跑的同學有多少個？
（III）只參加100米跑的同學有多少個？
17．（本小題滿分14分）
已知集合，其中，
如果，求實數的取值范圍。
求高一數學題200道
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