1、排除法、代入法
當(dāng)從正面解答不能很快得出答案或者確定答案是否正確時,可以通過排除法,排除其他選項,得到正確答案。排除法可以與代入法相互結(jié)合,將4個選項的答案,逐一帶入到題目中驗證答案。
例題:
2014年高考*卷Ⅰ理數(shù)第11題已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在*的零點x0,且x0>0,則a的取值范圍為:
A、(2,+∞) B、(-∞,-2) C、(1,+∞) D、(-∞,-1)
解析:取a=3,f(x)=3x3-3x2+1,不合題意,可以排除A與C;取a=-4/3,f(x)=-4x3/3-3x2+1,不合題意,可以排除D;故只能選B
2、特例法
有些選擇題涉及的數(shù)學(xué)問題具有一般性,這類選擇題要嚴(yán)格推證比較困難,此時不妨從一般性問題轉(zhuǎn)化到特殊性問題上來,通過取適合條件的特殊值、特殊圖形、特殊位置等進(jìn)行分析,往往能簡縮思維過程、降低難度而迅速得解。
例題:
2016年高考*卷Ⅱ理數(shù)第12題
已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(-x)=2-f(x),若函數(shù)y=x+1/x與y=f(x)圖像焦點為為(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),則∑mi=1(xi+yi)=( )
A、0 B、m C、2m D、4m
解析:由f(-x)=2-f(x)得,f(x)關(guān)于(0,1)對稱,故可取符合題意的特殊函數(shù)f(x)=x+1,聯(lián)立y=x+1,y=x+1/x,解得交點為(-1,0)和(1,2),所以∑2i=1(xi+yi)=(x1+y1)+(x2+y2)=(-1+0)+(1+2)=2,此m=2,只有選項B符合題意。
3、極限法
當(dāng)一個變量無限接近一個定量,則變量可看作此定量。對于某些選擇題,若能恰當(dāng)運用極限法,則往往可使過程簡單明快。
例題:
對任意θ∈(0,π/2)都有( )
A sin(sinθ) B sin(sinθ)>cosθ>cos(cosθ) C sin(cosθ) D sin(cosθ) 解析:當(dāng)θ→0時,sin(sinθ)→0,cosθ→1,cos(cosθ)→cos1,故排除A與B;當(dāng)θ→π/2時,cos(sinθ)→cos1,cosθ→0,故排除C,只能選D。 解答題的答題技巧 通用答題套路 1、三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)問題 ①解題路線圖 不同角化同角。 降冪擴角。 化f(x)=Asin(ωx+φ)+h。 結(jié)合性質(zhì)求解。 ②構(gòu)建答題模板 化簡:三角函數(shù)式的化簡,一般化成y=Asin(ωx+φ)+h的形式,即化為"一角、一次、一函數(shù)"的形式。 整體代換:將ωx+φ看作一個整體,利用y=sin x,y=cos x的性質(zhì)確定條件。 求解:利用ωx+φ的范圍求條件解得函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+h的性質(zhì),寫出結(jié)果。 反思:反思回顧,查看關(guān)鍵點,易錯點,對結(jié)果進(jìn)行估算,檢查規(guī)范性。 2、解三角函數(shù)問題 ①解題路線圖 化簡變形;用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系;變形證明。 用余弦定理表示角;用基本不等式求范圍;確定角的取值范圍。 ②構(gòu)建答題模板 定條件:即確定三角形中的已知和所求,在圖形中標(biāo)注出來,然后確定轉(zhuǎn)化的方向。 定工具:即根據(jù)條件和所求,合理選擇轉(zhuǎn)化的工具,實施邊角之間的互化。 求結(jié)果。 再反思:在實施邊角互化的時候應(yīng)注意轉(zhuǎn)化的方向,一般有兩種思路:一是全部轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系;二是全部轉(zhuǎn)化為角之間的關(guān)系,然后進(jìn)行恒等變形。 3、數(shù)列的通項、求和問題 ①解題路線圖 先求某一項,或者找到數(shù)列的關(guān)系式。 求通項公式。 求數(shù)列和通式。 ②構(gòu)建答題模板 找遞推:根據(jù)已知條件確定數(shù)列相鄰兩項之間的關(guān)系,即找數(shù)列的遞推公式。 求通項:根據(jù)數(shù)列遞推公式轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列求通項公式,或利用累加法或累乘法求通項公式。 定方法:根據(jù)數(shù)列表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征確定求和方法(如公式法、裂項相消法、錯位相減法、分組法等)。 寫步驟:規(guī)范寫出求和步驟。 再反思:反思回顧,查看關(guān)鍵點、易錯點及解題規(guī)范。 4、利用空間向量求角問題 ①解題路線圖 建立坐標(biāo)系,并用坐標(biāo)來表示向量。 空間向量的坐標(biāo)運算。 用向量工具求空間的角和距離。 ②構(gòu)建答題模板 找垂直:找出(或作出)具有公共交點的三條兩兩垂直的直線。 寫坐標(biāo):建立空間直角坐標(biāo)系,寫出特征點坐標(biāo)。 求向量:求直線的方向向量或平面的法向量。 求夾角:計算向量的夾角。 得結(jié)論:得到所求兩個平面所成的角或直線和平面所成的角。 5、圓錐曲線中的范圍問題 ①解題路線圖 設(shè)方程。 解系數(shù)。 得結(jié)論。 ②構(gòu)建答題模板 提關(guān)系:從題設(shè)條件中提取不等關(guān)系式。 找函數(shù):用一個變量表示目標(biāo)變量,代入不等關(guān)系式。 得范圍:通過求解含目標(biāo)變量的不等式,得所求參數(shù)的范圍。 再回顧:注意目標(biāo)變量的范圍所受題中其他因素的制約。 6、解析幾何中的探索問題 ①解題路線圖 一般先假設(shè)這種情況成立(點存在、直線存在、位置關(guān)系存在等)。 將上面的假設(shè)代入已知條件求解。 得出結(jié)論。 ②構(gòu)建答題模板 先假定:假設(shè)結(jié)論成立。 再推理:以假設(shè)結(jié)論成立為條件,進(jìn)行推理求解。 下結(jié)論:若推出合理結(jié)果,經(jīng)驗證成立則肯。定假設(shè);若推出矛盾則否定假設(shè)。 再回顧:查看關(guān)鍵點,易錯點(特殊情況、隱含條件等),審視解題規(guī)范性。 7、離散型隨機變量的均值與方法 ①解題路線圖 標(biāo)記事件;對事件分解;計算概率。 確定ξ取值;計算概率;得分布列;求數(shù)學(xué)期望。 ②構(gòu)建答題模板 定元:根據(jù)已知條件確定離散型隨機變量的取值。 定性:明確每個隨機變量取值所對應(yīng)的事件。 定型:確定事件的概率模型和計算公式。 計算:計算隨機變量取每一個值的概率。 列表:列出分布列。 求解:根據(jù)均值、方差公式求解其值。 8、函數(shù)的單調(diào)性、極值、*值問題 ①解題路線圖 先對函數(shù)求導(dǎo);計算出某一點的斜率;得出切線方程。 先對函數(shù)求導(dǎo);談?wù)搶?dǎo)數(shù)的正負(fù)性;列表觀察原函數(shù)值;得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值。 ②構(gòu)建答題模板 求導(dǎo)數(shù):求f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x),注意f(x)的定義域。 解方程:解f′(x)=0,得方程的根。 列表格:利用f′(x)=0的根將f(x)定義域分成若干個小開區(qū)間,并列出表格。 得結(jié)論:從表格觀察f(x)的單調(diào)性、極值、*值等。 再回顧:對需討論根的大小問題要特殊注意,另外觀察f(x)的間斷點及步驟規(guī)范性。
